Фото с http://nl.livejournal.com/1082778.html
| Благоговейные развлечения → Марков за Чурова |
В толпе накапливается не ум, а только глупость.
Густав Ле Бон, Психология толпы
В субботу, 10-го декабря, многотысячные толпы заполонили площади городов. Демонстранты утверждали, что выборы в Госдуму были мошенническими. Основным доказательством широкой фальсификации было утверждение, что результаты выборов противоречат математике. Дескать распределение процента голосов за Единую Россию по избирательным участкам не гауссово.
Фото с http://nl.livejournal.com/1082778.html
Посмотрим на аргументы обвинителей. Например, один из них в статье Математикой по избиркому: Гаусс против Чурова пишет, что гауссово распределение возникает
Всегда. Во всех случаях, когда действует не один фактор, а множество. Что бы ни измерялось на больших количествах. Постройте график, сколько миллионов мужчин в стране имеют рост 165, 170, 175см и т.д. — и тоже получите симметричный колокол с верхушкой, соответствующей самому типичному росту в стране.
Если вы не знаете распределение Гаусса, то блоггер дал хороший пример – распределение по росту. Большинство людей - среднего роста. Чем больше отклонение от среднего роста, тем меньше таких людей. Причём вероятность спадает быстро, как профиль колокола, и людей, в разы выше среднего роста, просто нет. Рост действительно распределён по Гауссу. А как распределены доходы? Примерно так, как если бы большинство было ростом 170 см, но часто встречались и трёхметровые. Реже попадались пяти, ещё реже – десятиметровые. Издалека индогда приходилось бы увидеть стометрового. Ну и было бы в стране несколько дядек высотой в сто километров. Это распределение очевидно не гауссово, но почему-то это не вызывает гнева наших математиков, наших березовских. А ведь на распределение богатства действует множество факторов и измеряются доходы на большом количестве людей. Негауссовых распаределений очень много в природе и обществе [1] и нет никаких оснований ожидать, чтобы распределение голосов за Единую Россию по избирательным участкам обязательно было гауссовым. Я покажу это, основываясь на работе Андрея Андреевича Маркова [2].
Дело в том, что для гауссова распределения нужно, чтобы множество факторов были независимы друг от друга. Рассмотрим ящик с двумя шарами: чёрным и белым. Будем тянуть из ящика шар, запоминать его цвет и класть шар обратно. Если тянуть много раз, то распределение вероятности числа вытянутых чёрных шаров будет гауссово. Это происходит потому, что то, какой шар мы вытянем на этот раз, не зависит от того, какой шар мы вытянули в предыдущий раз: та самая независимость факторов.В случае выборов независимость факторов равносильна утверждению, что люди выбирают свои политические взгляды независимо друг от друга. Тоесть, политические взгляды человека формируются независимо от взглядов его соседей, сослуживцев и приятелей. Чтобы изучать события, зависящие друг от друга, Марков [2] придумал следующую модель. Рассмотрим ящик с чёрным и белым шарами, как и прежде. Будем, как и прежде, тянуть из ящика шар, запоминать его цвет и класть шар обратно. Только теперь будем класть в ящик ещё один шар – такого же цвета, как шар, который мы только что вытянули. Если мы провели эту процедуру два раза, то могли вытянуть два чёрных шара, два белых, или чёрный и белый. С помощью элементарной комбинаторики легко проверить, что вероятности этих событий одинаковы. Значит, число вытянутых чёрных шаров может быть 0, 1 или 2, и каждое из этих чисел имеет одну и ту же вероятность – 1/3. Путём индукции можно доказать, что после N попыток все числа вытянутых чёрных шаров от 0 до N равновероятны. Те, кто не силён в индукции, могут проверить этот закон на опыте. Вместо шаров можно взять шашки или пешки (ведь среди недовольных результатами выборов, помимо математиков, много и шахматистов). Можно так же посмотреть доказательство в главе 7 моей обзорной статьи [1]. Интересно, что получившееся у нас равномерное распределение даже чем-то похоже на «невозможное» распределение, нарисованное на протестующем плакате.
Фото с http://nl.livejournal.com/1082778.html
Какое отношение задача о шарах имееть к выборам? Рассмотрим такую модель. В маленьком посёлке, в котором только один избирательный участок, в начальный момент есть два партийных человека, представляющих две партии: партию чёрного шара и партию белого шара. Каждый из них начинает агитировать за свою партию. Когда агитатор убеждает человека вступить в партию, новоиспечённый партиец сразу начинает агитировать. Допустим, что первому повезло агитатору белого шара. Тогда за белую партию агитируют уже два человека, а за чёрную – только один человек. Если предположить, что у каждого из агитаторов равные шансы преуспеть, то вероятность, что следующий, четвёртый, партиец вступит в белую партию в два раза выше, чем, что он вступит в чёрную партию. Получается однозначное соответствие с моделью Маркова. А значит, распределение процентов голосов по участкам должно быть не гауссовым, а равномерным. Модель, которую мы рассмотрели, очень упрощённая. Например, мы полностью пренебрегли зависимостью людей, живущих в разных избирательных участках, друг от друга. А эта зависимость, хоть она и гораздо меньше зависимости от соседей и сослуживцев, всё же есть. То, что в модели только две партии, возможно, не столь большой дефект. Ведь блоггеры призывали голосовать за кого угодно, лишь бы против Единой России. Поэтому ситуацию можно представить, как выбор за или против Единой России. Естественно, что нет оснований ожидать, что только что описанная модель близка к реальности, и не ясно, каким распределение процента голосов по избирательным участком должно быть согласно науке. Однако совершенно ясно, что нет оснований требовать, чтобы это распределение было гауссовым.
Михаил Симкин
13 декабря 2011 г.
Отредактировано 15 декабря 2011 г.
Эта заметка опубликована в Significance, журнале Королевского статистического общества.